コラッツの問題という数論の未解決問題があるらしい。
偶数なら２で割る、奇数なら３倍して１を足す、という操作を繰り返すと、どんな整数から始めてもいずれ必ず１になるというもの。
証明（というかいい加減な予想）
まず奇数を３倍して１を足すと必ず偶数になることは容易に証明できる。
その奇数を２ｎ－１（ｎは自然数）とおくと、
３（２ｎ－１）＋１＝６ｎ－２＝２（３ｎ－１）なのでこれは偶数。
ということは「偶数なら２で割る」ということなので３ｎ－１まではいくと断言できる。
で、この値は当初の値の約1.5倍。
対して偶数の場合、２で割るので、値は当初の値の0.5倍になる
ということは奇数の場合は約1.5倍になるが、偶数の場合は0.5倍になるので、
明らかに偶数の場合の減少速度が奇数の場合の増加速度を勝っている。
（つまりこの演算は、詳細は難しいが、減少関数だと考えられる）
そして一般にある整数が奇数（偶数）である確率は、交互に並んでいるものなので、50％。
よって、具体的な値はケースバイケースだが、とにかく傾向として減少していくことは言える。
そして最も小さな正の整数は１なので、紆余曲折を経て、最終的に１に収束すると予想される。
ただ、これは傾向を示しただけであり、いかなるときも厳密に成立することを示すほどのものではない。
無限の試行で平均的に収束するのは確かだと思うのだが。
インスピレーションはいいと思うのだが・・・誰かやっつけてくれないものだろうか。
追記（2014/01/02）
減少速度が増加速度を勝っていれば１に収束すると安易に予想したが、この問題はそんなに甘くないことが分かった。
というのも、似たような問題で反例があるのだ。
反例
「３倍して１を足す」というルールを「３倍して１を引く」に変更
これでも約1.5倍の増加と0.5倍の減少の丁半博打になることは変わらない。
「１を足す」を「１を引く」に変えても、おおよそ1.5倍前後であることは同じであり、偶数が半減していく速度には勝てないからである。
従って前の理屈でいくとこれも最小の正の整数、１に収束しそうである。
しかし５の場合、
５→14→７→20→10→５となり、循環するため、１に収束しない。
よって、確率的な考えだけで１に収束することを安易に決め付けてはいけないことになる。
循環するパターンがあるので１だけとは限らない。
（ただ発散の可能性が低く、何らかの整数に収束してループする可能性が高いのは確かだと思う）
因みに最初のルールの場合、１になっても続けるとすると、１→４→２→１という循環になる。
そのため、最初の方は４→２→１というループに全てが誘導されることを示すという考え方もあると思う。
（２の累乗になれば１になるのだから、２の累乗になることを示せばよい）
